天天百事通！【原】一题多解 | 角度问题综合

题目：在△ABC中，作∠FBC=∠ECB=1/2∠A。求证：BE=CF

解法1：利用平行线转移角构造全等三角形

(资料图片仅供参考)

①构造平行四边形BHCF；则∠1=∠2=∠3；

②∠4=∠1+∠2=∠A；则A、E、G、F四点共圆；则∠5+∠6=180°；

③因为∠5=∠H，∠H+∠6=180°，则C、E、B、H四点共圆；

④因为∠2=∠3，所以BE=BH=CF

解法2：构造等腰三角形

①构造△CEB≌△BHC，则BE=CH，只用证△CHF为等腰三角形就行；

②∠H=∠BEC=∠A+∠3；∠HFC=∠4+∠3=∠1+∠2+∠3=∠A+∠3；

③∠H=∠HFC，所以CH=CF=BE；

解法3：构造等腰三角形

①作BH⊥CE，CM⊥BF；

②先证△CBH≌△BCM，得到BH=CM

③再证△BHE≌△CMF

（其中∠BEH+∠CFG=180°在第一种方法中已证明。所以∠BEH=∠CFM）

解法4：三线合一+构造中位线

①GH⊥BC，因为∠1=∠2，根据等腰三角形三线合一得到H为BC中点，且∠3=∠4；

②构造中位线HM和HN，要证BE=CF，则证HM=HN；

③∠CNH=∠CEB，∠BMH=∠BFC，所以∠HMG+∠HNG=180°；

（其中∠BEH+∠CFG=180°在第一种方法中已证明。所以∠BEH=∠CFM）

④所以H、M、G、N四点共圆；所以∠3=∠6、∠5=∠4；

⑤所以∠5=∠6，HM=HN，BE=CF；

解法5：构造相似三角形

①构造EH∥AC，则黄色三角形相似；

则EG:CG=EH:CF，即EG:BG=EH:CF（因为CG=BG）

②△BEH∽△BGE（字母型相似）

因为EH∥AC，所以∠BEH=∠A

因为∠EGB=∠A（第一种方法已证）；∠BEH=∠A=∠EGB；

又因为公共角∠EBH

所以△BEH∽△BGE

所以BE:EH=BG:EG

因为EG:BG=EH:CF

所以BE=CF

解法6：等面积法

①求△BCF的面积

S△BCF=1/2×BC×BF×sin∠1

S△BCF=1/2×CF×BF×sin∠4

所以BC×sin∠1=CF×sin∠4 （1）

②求△BCE的面积

S△BCE=1/2×BC×CE×sin∠2

S△BCE=1/2×BE×CE×sin∠3

所以BC×sin∠2=BE×sin∠3（2）

③比例关系求解

用（1）比（2）得：

sin∠1：sin∠2=（CF×sin∠4）：（BE×sin∠3）

因为∠1=∠2；∠3+∠4=180°；

所以CF=BE

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